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Games101学习笔记（持续更新中）

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Games101

一、Lecture 01 计算机图形学概述

（一）什么是图形学

Computer Graphics，使用计算机来合成和处理视觉信息的技术 / 领域。

（二）为什么学图形学

1、图形学主要应用

  • 电子游戏（游戏画面、渲染等）
  • 电影（特效、面部捕捉、渲染等）
  • 设计（CG/概念图）
  • 可视化（操纵视觉信息的方法）
  • 虚拟现实VR 与 增强现实 AR
  • 数字插画
  • 模拟仿真
  • 图形用户接口 GUI
  • 字体设计 Typography

2、图形学的难点

  • 实现虚拟世界逼真的交互
  • 对真实世界物理规律的深刻理解
  • 新的计算方法、显示方法、新技术

3、技术挑战

  • 透视、投影、曲线、曲面相关数学原理
  • 光照与着色的物理机制
  • 三维形状的表示与运算
  • 动画与仿真
  • 三维图形软件编程与硬件

4、为什么要学

Computer Graphics is AWESOME!

（三）主要课程

  • 光栅化
  • 曲线和曲面
  • 光线追踪
  • 动画 / 模拟 / 仿真

（四）这门课不说什么

  • OpenGL / DirectX / Vulcan（图形学 API）
  • Shader（着色器）
  • Maya / 3DS / Blender（3D建模）
  • Unity / Unreal（游戏开发引擎）
  • Computer Vision / Deep Learning（计算机视觉/深度学习）
    • 两者都不属于计算机图形学范畴
    • 计算机视觉：一切需要猜测的内容，比如识别，分析理解东西
    • 深度学习：比如人脸生成，是在图像层面上的操作

计算机图形学与计算机视觉

  • 图形学不是计算机视觉。
  • 计算机视觉：猜测、预测、分析处理
  • 计算机视觉是理解这个世界，计算机图形学是创造这个世界

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当今各个学科结合越来越紧密，边界越来越模糊。

二、Lecture 02 向量与线性代数

（一）图形学依赖的知识

  • 基础数学 —— 线性代数、微积分、统计学
  • 基础物理 —— 光学、力学
  • 其他 —— 信号处理、数值分析
  • 以及一些美感

（二）向量

  • 向量：具有大小和方向的量，没有绝对的起点。记作 \vec{a} 或 粗体 \boldsymbol{a}

  • 向量的模长：向量的模长（长度），记作 ∥a∥

  • 向量归一化：长度为1的向量，计算方式为 \hat{\boldsymbol{a}} = \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}

  • 向量加法：使用三角形法则或者平行四边形法则

  • 笛卡尔坐标系：让向量起点为坐标原点，这样可以使用基向量 X、Y 线性组合表示一个向量。X 和 Y 通常为正交单位向量（互相垂直的单位向量）。

    • 向量表示：\mathbf{A} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}、\mathbf{A}^T = (x,\ y)。
    • 向量的模长： \|\mathbf{A}\| = \sqrt{x^2 + y^2}

  • 向量点乘（Dot）：

    • 说明： \vec{a} \cdot \vec{b} 可以看作是 \vec{a} 与 \vec{b} 在 \vec{a} 上的投影 的长度的乘积。
    • 几何定义：\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos\theta
    • 点积求夹角余弦：\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}
    • 单位向量求夹角余弦：\cos\theta = \hat{a} \cdot \hat{b}
    • 性质：
      • 交换律： \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
      • 分配律： \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}
      • 数乘结合律： (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})
    • 笛卡尔坐标系下的点乘：\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b
    • 应用：
      • 计算两个向量之间的夹角
      • 计算一个向量在另一个向量上的投影
      • 衡量两个方向的接近程度（越接近\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|，两向量越同向）
      • 判断方向是向前还是向后

  • 向量叉乘（Cross）：

    • 说明：叉乘结果与两个原向量正交（垂直），方向由右手螺旋定则确定：以 \vec{a} \times \vec{b} 为例，右手四指从a指向b并握紧，最终拇指朝向就是叉乘结果向量的方向。

    • 模长公式：\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \sin\phi

    • 性质：

    • 坐标轴单位向量的叉乘：\vec{x} \times \vec{y} = +\vec{z}（排列组合共6种）

    • 反交换律：\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}

    • 自身叉乘为零向量：\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}

    • 分配律：\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}

    • 数乘结合律：\vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})

    • 笛卡尔坐标系下的叉乘：

      • 分量形式： \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} y_a z_b - y_b z_a \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b \end{pmatrix}
      • 矩阵形式：\vec{a} \times \vec{b} = A^* \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}

    • 应用：

      • 判断两个向量左右关系。
      • 判断一个点位于凸多边形的“内外”关系。

  • 标准正交基 / 坐标系：坐标系对表示点、位置、空间坐标至关重要，核心的问题就是不同坐标系 / 基之间的变换。

    • 标准正交坐标系：满足以下条件的 3 个向量构成标准正交基

      • 单位向量： \|\vec{u}\| = \|\vec{v}\| = \|\vec{w}\| = 1
      • 正交： \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} = 0
      • 第三个向量由前两个叉乘得到： \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \quad

    • 向量分解（投影分解）：

      • 任意向量都可以用标准正交基线性表示，本质是在三个基向量上的投影之和
      • \vec{p} = (\vec{p} \cdot \vec{u})\vec{u} + (\vec{p} \cdot \vec{v})\vec{v} + (\vec{p} \cdot \vec{w})\vec{w}

（三）矩阵

  • 矩阵：可以理解为一个由数字组成的二维数组，在图形学中被广泛用于变换，比如平移、旋转、错切、缩放等。
  • 矩阵加法与标量乘法：比较简单，对应元素分别操作。
  • 矩阵乘法：(M \times N) \cdot (N \times P) = (M \times P)
  • 性质：
    • 不满足交换律：大部分情况下 AB \neq BA
    • 结合律：(AB)C = A(BC)
    • 分配律：A(B+C) = AB + AC 、 (A+B)C = AC + BC
  • 矩阵的转置：
    • 交换矩阵行与列： \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
    • 性质：(AB)^T = B^T A^T
  • 单位矩阵：I_{3\times3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  • 逆矩阵：AA^{-1} = A^{-1}A = I
  • 矩阵乘积的逆： (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • 向量乘法转换为矩阵乘法：
    • 将向量视为 m 行 1 列的列矩阵
    • 点乘：\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b \end{pmatrix}
    • 叉乘：\vec{a} \times \vec{b} = A^* \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}

附录：课程作业环境搭建

1、准备

我使用的是VS2022＋OpenCV＋Eigen。需要准备如下三样东西：

2、配置Eigen

  • 右键解决方案，点击属性

image-20260405123133332

  • 选择C/C++ → 常规 → 附加包含目录，选中Eigen所在目录即可。

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  • 验证，在main中输入如下代码，如果没有报错并且正确打印两个矩阵的信息则说明配置正确。
#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;

int main() {
	cout << "<========================>" << endl;
	Matrix<float, 3, 3>matrixA;
	matrixA.setZero();
	cout << matrixA << endl; 
	
	Matrix<float, 3, 3>matrixA1;
	matrixA1.setZero();
	cout << '\n' << matrixA1 << endl;
	cout << "<========================>" << endl;

	return 0;
}

3、配置OpenCV

  • 下载好后，先配置环境变量，将opencv\build\x64\vc16\bin这个路径添加到环境变量的Path中

  • 右键解决方案，点击属性，选择VC++目录，配置包含目录和库目录

    • 包含目录：opencv\build\include
    • 库目录：opencv\build\x64\vc16\lib

image-20260405124419459

  • 配置附加依赖项，在刚才的lib目录下找到这个库文件，复制名字

image-20260405124804776

  • 然后在 链接器 → 输入 → 附加依赖项 中将刚才复制的名字粘贴进去

image-20260405124935762

  • 之后运行如下程序进行测试，如果能正常打开图片代表成功
#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
int main() {
	Mat img = imread("你的图片路径");
	imshow("test", img);
	waitKey(0);
	return 0;
}
图形学